Cramér’s V (克莱姆V系数) - 是什么以及为什么？

By Ruben Geert van den Berg under Statistics A-Z & Correlation

Cramér’s V (克莱姆V系数) 是一个介于 0 和 1 之间的数字，用于衡量两个类别变量之间关联的强度。如果我们想知道两个类别变量是否相关，我们的第一个选择是 卡方独立性检验 (Chi-Square Independence Test)。 接近于零的 p 值 (p-value) 意味着我们的变量在某个总体中完全 不 相关的可能性非常低。 但是，这并不意味着变量之间 强烈相关 ； 在大样本量中即使是微弱的关联也可能导致 p = 0.000。

Cramér’s V (克莱姆V系数) - 公式

Cramér’s V (克莱姆V系数) 是一种可以指示关联强度的度量，定义为：

\[\phi_c = \sqrt{\frac{\chi^2}{N(k - 1)}}\]

其中：

• \(_c\) 表示 Cramér’s V (克莱姆V系数)； \(\) 是希腊字母“phi”，指的是 “phi coefficient (Phi系数)”，它是 Cramér’s V (克莱姆V系数) 的一个特例，我们稍后会讨论。
• \(^2\) 是来自上述检验的 Pearson 卡方统计量；
• \(N\) 是测试中涉及的样本量；
• \(k\) 是两个变量中类别数量较少的一个。

Cramér’s V (克莱姆V系数) - 例子

一位科学家想知道音乐偏好是否与专业相关。 他询问了 200 名学生，得到了如下所示的列联表。

Cramers V Crosstab Counts

这些原始频率是我们进行各种计算所需要的，但它们并没有显示太多的模式。 如果我们检查行百分比而不是原始频率，则更容易看到变量之间的关联（如果有）。 如果我们将百分比可视化为堆积条形图，事情会变得更加清楚。

Cramér’s V (克莱姆V系数) - 独立性

在我们的第一个例子中，变量是完全独立的：\(^2\) = 0。根据我们的 公式 ，卡方 = 0 意味着 Cramér’s V (克莱姆V系数) = 0。 这意味着音乐偏好“不能说明”专业。 相关的表格和图表清楚地表明了这一点。

请注意，每个音乐偏好组中的专业分布是相同的。 如果我们想预测某人的专业，了解他的音乐偏好一点帮助都没有。 我们最好的猜测 始终 是法律或“其他”。

Cramér’s V (克莱姆V系数) - 中等关联

第二个 200 名学生的样本显示出不同的模式。 行百分比如下所示。

Cramers V Crosstab Medium Association

该表显示了音乐偏好和专业之间存在相当大的关联：音乐偏好组的专业分布不同。 例如，在所有喜欢流行音乐的学生中，有 60% 的人学习心理学。 那些喜欢古典音乐的人大多学习法律。 下图可视化了我们的表格。

Cramers V Medium Association Chart

请注意，音乐偏好在很大程度上说明了专业：了解前者对预测后者有很大帮助。 对于这些数据：

• \(^2 \) 113； 有关计算此卡方值的信息，请参阅 卡方独立性检验 - 快速入门 (Chi-Square Independence Test - Quick Introduction) 或 SPSS 卡方独立性检验 (SPSS Chi-Square Independence Test) 。
• 我们的样本量 N = 200，并且
• 我们有 4 个和 5 个类别的变量，因此 k = (4 -1) = 3。

由此得出：

\[\phi_c = \sqrt{\frac{113}{200(3)}} = 0.43.\]

这相当可观，但不是非常高，因为 Cramér’s V (克莱姆V系数) 的最大值为 1。

Cramér’s V (克莱姆V系数) - 完美关联

在第三个（也是最后一个）学生样本中，音乐偏好和专业是完全相关的。 下表和图显示了行百分比。

如果我们知道一个学生的音乐偏好，我们就能确定他的专业。 这意味着我们的变量是完全相关的。 但是，请注意，反过来是不成立的：我们无法从某人的专业中确定他的音乐偏好，但这不是完美关联所必需的：\(^2\) = 600 所以

\[\phi_c = \sqrt{\frac{600}{200(3)}} = 1,\]

这是 Cramér’s V (克莱姆V系数) 的最高可能值。

替代测量方法

• 两个名义变量的替代关联测量方法是 contingency coefficient (列联系数)。 但是，最好避免使用它，因为它的最大值取决于所涉及的列联表的维度。
• 对于两个有序变量，与 Cramér’s V (克莱姆V系数) 相比，Spearman 相关 (Spearman Correlation) 或 Kendall’s tau (肯德尔tau系数) 更可取。
• 对于两个度量变量，首选 Pearson 相关 (Pearson Correlation)。
• 如果两个变量都是 dichotomous (二分变量)（导致 2x2 表），请使用 phi coefficient (Phi系数)，这只是在二分变量上计算的 Pearson 相关。

Cramér’s V (克莱姆V系数) - SPSS

在 SPSS 中，可以从 A nalyze (分析) D escriptive Statistics (描述统计) C rosstabs (交叉表) 获得 Cramér’s V (克莱姆V系数)。 接下来，按照如下所示填写对话框。

Cramers V from SPSS Crosstabs

警告：对于大于 2x2 的表格，SPSS 会返回 phi 的无意义值，而不会发出任何警告或错误。 这些值通常 > 1，这对于 Pearson 相关是不可能的。 奇怪的是，如果不获得这些疯狂的 phi 值，就无法请求 Cramér’s V (克莱姆V系数)。

最后说明

Cramér’s V (克莱姆V系数) 也被称为 Cramér’s phi (coefficient) (克莱姆phi系数)。 它是上述 phi coefficient (Phi系数) 的扩展，适用于大于 2x2 的表格，因此其表示为 \(_c\)。 有人认为它被“V”取代是因为旧计算机无法打印字母 \(\)。

感谢您的阅读。

参考文献

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5. Sheskin, D. (2011). Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC.